package com.asa.control_theory;

public class H {
	
	/**
	 * 	非线性理论基础，Lyapunov直接方法
	 * 
	 *	 基础定义:
	 * 		V： D-->R
	 * 		PD	正定		V(0)=0  V(x)>0 存在x∈D
	 * 		PSD	半正定	V(0)=0  V(x)>=0 存在x∈D
	 * 		ND	负定		V(0)=0  V(x)<0 存在x∈D
	 * 		NSD	半负定	V(0)=0  V(x)<=0 存在x∈D
	 * 
	 * D:Definite
	 * S:Semi
	 * P:Positive
	 * N:Negative
	 * 
	 * 
	 * recall:
	 * 		x` = f(x)	x=0是平衡点，即f(x=0)=0
	 * 		设一个V
	 * 			①V:PD
	 * 			②V`:NSD
	 * 			==>x=0 是稳定点
	 * 			
	 * 			①V:PD
	 * 			②V`:ND
	 * 			==>x=0 是渐进稳定点
	 * 
	 * 		
	 * 	例：x1`=a*x1	= f1
	 * 		x2`=b*x2 + Math.cos(x1) = f2
	 * 		设：V = x1*x1 + x2*x2
	 * 		==> V` = 2*x1*x1` + 2*x2*x2` = 2*x1*(a*x1) + 2*x2*(b*x2 + Math.cos(x1)) = 2*a*x1*x1 + 2*b*x2*x2 +2*x2*Math.cos(x1)
	 * 		
	 * 		V` = {2*x1,2*x2}*{{x1`},
	 * 						{x2`}
	 * 						}
	 * 			= {d(V)/d(x1) , d(V)/d(x2)}*{{f1},
	 * 						{f2}
	 * 						}
	 * 			= 梯度 V*f(x) = Lf*V(x)		Lf
	 * 		
	 * 
	 * 
	 * 
	 * 	一般简单钟摆模型：
	 * 		l*θ`` + g*Math.sin(θ)=0
	 * 		==>θ`` + g/l * Math.sin(θ)=0
	 * 		
	 * 		设x1=θ,x2=x1`=θ`
	 * 		
	 * 		x1` = x2
	 * 		x2` = - g/l * Math.sin(θ)
	 * 
	 * 		我们来寻找V，			这个V不好找，我暂时还没明白V是什么
	 * 		
	 * 		这里从能量入手
	 * 			V = E = k+p		整个系统的能量E由动能k和势能p所组成
	 * 		
	 * 			V = 1/2 * m* v*v + m*g*h
	 * 			v = l*θ` = l*x2
	 * 			h = l*(1-Math.cos(θ)) = l*(1-Math.cos(x1))
	 * 		
	 * 			==>
	 * 			V = 1/2 * m * l*l * x2*x2 + m*g*l*(1-Math.cos(x1))
	 * 		
	 * 		①V(0)=0
	 * 		②V(x)>0						只需要考虑x∈（-2*π，2*π）
	 * 		
	 * 		V` = 梯度 V*f(x) = Lf*V(x) = {d(V)/d(x1) , d(V)/d(x2)}*{{f1},
	 * 						{f2}
	 * 						}
	 * 			={m*g*l*Math.sin(x1),m*l*l*x2}*{{x2},
	 * 					{-g/l *Math.sin(x1)}
	 * 					}
	 * 			= m*g*l*Math.sin(x2) - m*g*l*Math.sin(x2) = 0
	 * 
	 * 
	 * 		③V`(x) = 0 <=0
	 * 
	 * 		由①②③	系统是稳定的
	 * 
	 * 
	 * 
	 * 		如果要算上摩擦力
	 * 		m*l*θ`` = -m*g*Math.sin(θ) -k*l*θ`
	 * 		设x1=θ,x2=x1`=θ`
	 * 		
	 * 		V = 1/2 * m*l*l * x2*x2 + m*g*l*(1-Math.cos(x1))
	 * 		V` = 梯度 V*f(x) = Lf*V(x) = {d(V)/d(x1) , d(V)/d(x2)}*{{f1},
	 * 						{f2}
	 * 						}
	 * 
	 * 		物理： t趋近无穷，x1、x2趋近0
	 * 		数学：是稳定，但不能确定是渐进稳定
	 * 
	 * 
	 * 
	 * 
	 */
	
	/**
	 * 
	 * 	基础之二，
	 * 
	 * 
	 * 	
	 * 
	 * 
	 * 
	 * 
	 * 
	 * 
	 * 
	 * 
	 * 
	 * 
	 * 
	 * 
	 * 
	 * 
	 */
	
	
	
	
	
}
